ANALISIS VEKTOR

1.      ANALISIS VEKTOR

Analisis vektor adalah sebuah topik yang sebenarnya lebih cocok dijelaskan oleh para matematikawan, ketimbang oleh para insinyur.

Analisis vektor adalah sebuah topik matematika yang masih relatif ‘muda’. Topik ini menggunakan sejumlah simbol baru, sejumlah aturan baru, dan penuh dengan ‘jebakan ketelitian’ di sana-sini, sebagaimana layaknya semua bidang studi yang baru; analisis vektor juga menuntut konsentrasi, ketekunan, serta latihan soal.

1.1  Skalar dan Vektor

Istilah skalar merujuk ke sebuah besaran (kuantitas) yang nilainya dapat direpresentasikan oleh sebuah bilangan nyata uhnggal (baik positif maupun negatif). Variabel-variabel x, y, dan z yang kita gunakan di dalam pelajaran aljabar dasar adalah skalar-skalar, demikian pula dengan besaran-besaran yang direpresentasikan oleh variabel-variabel ini.

Sebuah besaran vektor memiliki sebuah magnitudo dan sebuah arah di dalam ruang. Kita hanya akan berurusan dengan ruang-ruang berdimensi dua dan tiga di dalam buku ini, namun vektor-vektor dapat didefinisikan untuk ruang-ruang berdimensi n pada penerapan-penerapan yang lebih lanjut. Gaya, kecepatan, percepatan, dan sebuah garis lurus yang ditarik dari kutub positif ke kutub negatif sebuah baterai adalah contoh-contoh besaran vektor. Masing-masing besaran ini dicirikan oleh sebuah magnitudo dan sebuah arah.

1.2  Aljabar Vektor

Setelah selesai mendefinisikan secara lengkap vektor-vektor dan medan vektor, kita dapat melanjutkannya dengan pendefinisian aturan-aturan aritmatika vektor, aljabar vektor, dan (belakangan nanti) kalkulus vektor.

Sebagai pembuka, operasi penjumlahan vektor mengikuti ‘aturan jajaran genjang’, dan hal ini dengan mudah dapat dilakukan dengan metode grafik, meskipun belum tentu akurat. Gambar 1.1 mengilustrasikan penjumlahan dua buah vektor, yaitu A dan B. Dapat diperhatikan dengan jelas bahwa A + B = B + A, atau bahwa operasi penjumlahan vektor mengikuti hukum komutatif. Penjumlahan vektor juga memenuhi hukum asosiatif.

A + (B + C) = (A + B) + C

Perhatikan bahwa ketika sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah yang memiliki panjang tertentu, lokasi vektor ini didefinisikan berada pada titik pangkal (ekor) dari anak panah.

1.3  Sistem Koordinat Persegi

Untuk dapat menjabarkan sebuah vektor secar akurat, kita harus memberikan vektor yang bersangkutan suatu panjang, arah, sudut, dan proyeksi-proyeksi (komponen-komponen) yang spesifik.

Dengan sistem koordinat persegi, kita menarik tiga buah garis sumbu yang paling tegak lurus antara satu sama lainnya, dan menamakan masing-masing sumbu ini x, y, dan z.

Gambar 1.2b memperlihatkan titik-titik P dan Q yang masing-masingnya secara berturut-turut memiliki koordinat (1, 2, 3) dan (2, -2, 1). Titik P dengan demikian adalah lokasi perpotongan antara bidang x = 1, bidang y = 2, dan bidang z = 3, sedangkan titik Q adalah lokasi perpotongan bidang-bidang x = 2, y = -2, dan z = 1.

Ketika bekerja dengan sistem-sistem koordinat lainnya, seperti nanti di dalam Subbab 1.8 dan 1.9, metode memandang titik-titik sebagai lokasi perpotongan antara tiga buah permukaan akan menjadi cara baku. Ketiga permukaan ini tidak harus berupa bidang-bidang tegak (plane), namun satu sama lainnya tetap saling tegak lurus di titik perpotongan tersebut.

1.4  Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan

Untuk menjabarkan sebuah vektor di dalam sistem koordinat persegi, marilah terlebih dulu kita memperhatikan sebuah vektor r, yang bermula di titik pusat koordinat dan mengarah keluar menjauhinya. Apabila vektor-vektor komponen untuk r adalah x, y, dan z, maka r = x + y + z. Vektor-vektorkomponen ini diperlihatkan dalam gambar 1.3a. Alih-alih hanya berhadapan dengan satu buah vektor, kita mendapat tiga
buah saat ini.

1.5  Medan Vektor

Kita telah mendefinisikan medan vektor sebagai suatu fungsi dari sebuah vektor posisi. Secara umum, magnitudo dan arah fungsi akan berubah dari satu titik ke titik lainnya di dalam ruang, dan magnitudo dan arah ini bergantung langsung pada nilai-nilai koordinat di titik yang bersangkutan.

Apabila sekali lagi kira merepresentasikan vektor posisi sebagai r, maka medan vektor G dapat dinyatakan dalam notasi fungsionalnya sebagai G(r); bandingkan dengan medan skalar T yang dituliskan sebagai T(r).

Di dalam studi kita mengenai kelistrikan dan magnetisme di sini, kita akan menjumpai cukup banyak medan vektor yang ternyata lebih sederhana dari medan kecepatan yang kita bicarakan di atas. Namun, kit akan mempelajari pula medan-medan yang lebih kompleks, dan berbagai metode untuk memberikan interpretasi fisik pada persamaa medan-medan ini juga akan dibicarakan.

1.6  Hasil Kali Titik

Sekarang kita akan membicarakan jenis pertama dari dua perkalian vektor yang ada. Perkalian vektor jenis kedua akan dibahas pada subbab mendatang.

Untuk dua buah vektor A dan B hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar kedua vektor didefinisikan sebagai hasil perkalian antara magnitudo A, magnitudo B, dan nilai kosinus dari sudut lancip yang diapit oleh keduanya.

A . B = [A] [B] cos ϴAB

Notasi titik yang melambangkan opersi ini muncul di antara kedua vektor, dan harus dituliskan tebal untuk menekankan maknanya. Hasil dari opersi perkalian titik, atau perkalian skalar, ini adalah sebuah nilai skalar dan perkalian ini mematuhi hukum komutatif,

A . B = B . A

Karena tanda positif/negatif di depan sudut apit tidak akan mempengaruhi nilai kosinusnya. Persamaan A . B dibaca sebagai “A titik B” atau “A dot B”.

1.7  Hasil Kali Silang

Untuk dua buah vektor A dan B, sekarang kita akan mendefinisikan hasil kali silang (cross product), atau hasil kali vektor, antara kedua vektor ini; yang dituliskan dengan notasi berupa sebuah tanda silang di antara kedua vektor, yaitu A x B dan dibaca sebagai “A silang B” atau “A cross B”. Hasil kali silang antara A dan B (yaitu, A x B) adalah sebuah vektor, dengan magnitudo sama dengan hasil perkalian magnitudo A, magnitudo B, dan nilai sinus dari sudut lancip yang diapit kedua vektor; arah vektor A x B adalah tegak lurus terhadap bidang yang memuat A dan B, dan searah dengan arah pergerakan maju sebuah sekrup berorientasi tangan kanan (yaitu, ke bawah atau masuk ke dalam) jika A diputar menuju B. Ilustrasi untuk konsep arah ini ditampilkan dalam gambar 1.5.

 

1.8  Sistem Koordinat Silinder-Lingkaran

Sewajarnya, sistem koordinat persegi adalah sistem yang paling disukai oleh para mahasiswa untuk menyelesaikan berbagai soal.

Di dalam sistem koordinat persegi, vektor-vektor satuan bukan merupakan fungsi dari nilai-nilai koordinat. Akan tetapi, dua vektor satuan di dalam koordinat silinder, yaitu ap dan aϕ akan berubah-ubah mengikuti koordinat ϕ dikarenakan perubahan arahnya. Sehingga, dalam melakukan diferensiasi atau integrasi terhadap variabel ϕ, kedua vektor satuan ini tidak dapat dipandang sebagai konstanta.

1.9  Sistem Koordinat Bola

Kita tidak begitu beruntung dalam mempelajari sistem koordinat bola, karena tidak seperti sistem koordinat silinder-lingkaran, tidak ada sistem koordinat dua dimensi yang dapat dipakai untuk membantu kita memahami sistem koordinat bola.